Cálculo de rentabilidades e intereses: interés compuesto, TAE, descuento y valoración de bonos

Ejercicios resueltos: rentabilidades, descuentos y valoración de instrumentos financieros

1. Compra de acciones — tipo compuesto anual equivalente

Compramos acciones de Telefónica a finales del año anterior a 15.85 euros. Hoy, dos meses y medio más tarde, están cotizando a 14.14 euros. ¿Cuál es el tipo compuesto anual equivalente de mi inversión?

-10,79%
-2,35%
-42,19%
-51,79%

Sólo tenemos que sustituir en la fórmula del tipo compuesto, expresando el tiempo en años:

14.14 = 15.85 * (1 + i)^(2.5/12), por tanto

i = (14.14 / 15.85)^(12 / 2.5) – 1 = -0.42188 ≈ -42,19%

2. Papel comercial — descuento comercial simple Act/360

Un papel comercial que vence dentro de 175 días, con un nominal de 1500 euros, descontado al 3,5% vale hoy:

1474.828767
1474.479167
1474.906111
982.9861111

El descuento a aplicar es el comercial simple Act/360. Así:

Valor descontado = 1500 * (1 – 3.5% * 175 / 360) = 1474.479167

3. Ahorro periódico — cuota anual para alcanzar un objetivo

Queremos ahorrar un total de 150.000 euros en 10 años. Para ello, vamos a aportar a un plan de ahorro al 3% una cantidad fija a finales de cada año. ¿Cuál es esta cantidad?

12.703,47
17.584,58
13.084,58
15.000,00

Aplicamos la fórmula para el valor final de una renta pospagable de cuota anual:

FV = cuota * ((1 – (1 + i)^(-n)) / i) * (1 + i)^n

Despejando cuota:

cuota = FV / ( ((1 – (1 + i)^(-n)) / i) * (1 + i)^n ) = 150000 / ( ((1 – (1 + 3%)^(-10)) / 3%) * (1 + 3%)^10 ) = 13.084,58

4. Depósito con cambios de TAE durante el año

Si tenemos un depósito que paga un 5% TAE durante 4 meses y después un 3% TAE el resto del tiempo, aportando 1200 euros, obtenemos al final del año:

1243.948772
1243.557201
1244
1251.948662

Hay que aplicar capitalización compuesta durante dos periodos consecutivos, igualando el valor final del primer periodo con el inicial del segundo:

Cf = 1200 * (1 + 5%)^(4/12) * (1 + 3%)^(8/12) = 1.243,948772 ≈ 1243.949

5. Financiación de un coche — cuotas mensuales

Compramos un coche de 25.000 euros y aceptamos financiarlo a 5 años a un 7% TAE, con cuotas mensuales al final de cada mes. ¿Cuáles son las cuotas correspondientes a este préstamo?

6097,27
492,50
351,14
497,74

Primero, tenemos que pasar el tipo TAE a mensual:

i_mensual = (1 + TAE)^(1/12) – 1 = (1 + 7%)^(1/12) – 1 = 0.005654 ≈ 0,5654%

Después, aplicamos la fórmula del valor presente de una renta pospagable para despejar la cuota:

PV = cuota * (1 – (1 + i)^(-n)) / i ⇒ cuota = PV / ( (1 – (1 + i)^(-n)) / i )

cuota = 25000 / ( (1 – (1 + 0,5654%)^(-60)) / 0,5654% ) = 492,4956 ≈ 492,50

6. Bono con cupón — cálculo del yield

Tenemos un bono de 100 euros de principal y cupón del 5% a 4 años. Si su precio actual es de 102, ¿qué yield tiene el bono?

5%
4.6739%
No se puede calcular con los datos facilitados
4.4432%

El esquema de flujos a resolver es: -102, 5, 5, 5, 105. Se trata de calcular la tasa interna de rendimiento (TIR) que iguala esos flujos a cero. Con calculadora financiera o método numérico, el resultado es ≈ 4.4432%.

7. Rentabilidad media mensual — conversión a continuo

Un fondo de inversión, durante el año 2008, ha tenido las siguientes medias de rentabilidad: rentabilidad mensual media (no continua) = 0,75%; rentabilidad mensual media continua = 0,67%. Si invertimos 1500 euros en el fondo a principios de año, al final tenemos:

1620,60
1625,58
1640,71
1635

Sólo con la log-rentabilidad (rentabilidad continua) media podemos recuperar el valor final. Si la media mensual continua es 0,67%, el anual continuo es 12 * 0,67% = 8,04%. Entonces:

Valor final = 1500 * exp(0,0804) = 1625,581 ≈ 1625,58

8. Plan de pensiones — rentabilidad mínima para alcanzar objetivo

Si aportamos a un plan de pensiones 10.000 euros al principio de cada año, durante 20 años, ¿cuál es la rentabilidad anual mínima que tiene que tener el plan para asegurarme un importe final de 300.000 euros?

4,07151%
3,71888%
3,91222%
Da un valor negativo

Se trata de resolver la tasa i de una renta prepagable (renta pagada al principio de cada periodo) con FV = 300000, cuota = 10000, n = 20. Usando calculadora financiera se obtiene i ≈ 4,07151%.

9. Producto a cuatro años — decisión de inversión

Un producto a cuatro años nos ofrece por 1000 euros cobrar 30, 40, 50 y 60 al final de cada uno de los cuatro años. Igualmente, al final se devuelven los 1000 euros aportados. Si los tipos de interés están en un 4%:

Invertiría en el producto
No invertiría en el producto
No puedo dar una respuesta con los datos que tenemos
Me falta el cupón del producto para poder valorarlo bien

El producto pagará 30, 40, 50 y 1.060 euros cada uno de los años. Descontando esos importes al 4% obtenemos:

30/(1+4%) + 40/(1+4%)^2 + 50/(1+4%)^3 + 1060/(1+4%)^4 = 1016,371

Como el valor descontado (≈ 1.016,37) es mayor que el precio pedido (1.000), el producto ofrece una rentabilidad superior al 4% exigido, por lo que invertiría.

10. Tipo continuo equivalente a un tipo mensual compuesto del 1%

Buscad el tipo continuo anual equivalente a un tipo mensual compuesto del 1%.

11,9404%
11,3328%
12,6825%
0.99503%

Un tipo mensual compuesto del 1% lleva 100 a 101 en un mes. Para la capitalización continua:

101 = 100 * exp(i / 12) ⇒ i = 12 * ln(101 / 100) = 0,119404 ≈ 11,9404%