Cálculo de Capital Final y TAE

Caso 1: Depósito Bancario a Dos Años

10. Has depositado 20.000 € en un banco, el cual te ha garantizado un interés anual del 4% y la inversión dura dos años.

• a) ¿Cuánto capital obtendrás al final de la operación?
• b) ¿Cuál será la TAE del producto si no hay comisiones?
• c) ¿Y si hubiera una comisión del 2% sobre el rendimiento obtenido?

Datos de la operación:

• C_n: Capital final = ?
• C₀: Capital inicial = 20.000 €
• i: Tipo de interés anual = 4%
• m: Periodo de tiempo (anual)
• n: Duración de la operación = 2 años

Resolución:

a) Capital Final:
C_n = C₀ (1 + i)ⁿ
C_n = 20.000 (1 + 0,04)² = 21.632 €

b) TAE sin comisiones:
Sin gastos, el tipo de interés efectivo anual y la TAE coincidirán. Por lo tanto, la TAE = 4%.

c) TAE con comisión del 2% sobre el rendimiento:
Primero, obtenemos el capital neto tras la comisión sobre el beneficio:
Rendimiento = 21.632 € – 20.000 € = 1.632 €
Comisión (2%) = 1.632 € * 0,02 = 32,64 €
Capital Neto = 21.632 € – 32,64 € = 21.599,36 €

Nota: Corrigiendo el cálculo del enunciado original para mantener coherencia matemática:
i = (21.599,36 / 20.000)^1/2 – 1
i = 0,0392 → 3,92%

TAE = [(1 + 0,0392)¹ – 1] · 100 = 3,92% (con comisiones sobre rendimiento).

Gestión de Créditos y Comisiones

Caso 2: Liquidación de Cuenta de Crédito

13. El 18 de marzo tu banco o caja te concede un crédito para efectuar pagos relacionados con los suministros de tu negocio. Los datos de la operación son los siguientes:

• Vencimiento: 18 de marzo del año siguiente.
• Liquidación: Anual.
• Límite: 40.000 €.
• Condiciones pactadas:
  • Interés TAE hasta el límite: 8%.
  • TAE para sobregiros y cantidades vencidas: 28%.
  • Comisión de apertura: 1%.
  • Comisión anual sobre saldo no dispuesto: 0,5%.
  • Comisión de cancelación anticipada: 0,0%.

Si durante el año no ha superado el límite y el importe utilizado asciende a 30.000 €, ¿qué deberás abonar?

Cálculo de la liquidación:

• Intereses por capital dispuesto: 30.000 € · 0,08 = 2.400 €
• Comisión de apertura: 40.000 € · 0,01 = 400 €
• Comisión por capital no dispuesto: (40.000 € – 30.000 €) · 0,005 = 50 €

Total gastos: 2.400 € + 400 € + 50 € = 2.850 €.
Total a abonar (incluyendo devolución del principal): 2.850 € + 30.000 € = 32.850 €.

Fundamentos de las Operaciones Financieras

Elementos de una Operación de Inversión

3. Un ciudadano invierte 1.000 € en un banco durante 4 años. A cambio de su ingreso, recibirá al final de cada año un 10% de interés simple. De esta forma, el inversor recibirá todos los años 100 €, y el último año, 1.100 €. Explica qué elementos de los que deben aparecer en una operación financiera observas.

• Acreedor: Individuo que inicia la operación y entrega el primer capital (El ciudadano).
• Deudor: Individuo que recibe el primer capital (El banco).
• Prestación: Capitales que forman el compromiso del acreedor (1.000 €).
• Contraprestación: Capitales que forman el compromiso del deudor (100 + 100 + 100 + 1.100).
• Ley financiera: Modelo matemático que cuantifica los intereses. En este caso, capitalización simple (intereses calculados sobre el capital inicial).
• Inicio: Momento de entrega de los 1.000 € al banco.
• Fin: Momento en el que el banco entrega el último capital (1.100 €).
• Duración: Diferencia entre el inicio y el fin (4 años).

Clasificación de Operaciones Financieras

4. Un inversor deposita 2.000 € en un fondo bancario y espera que le devuelvan 2.500 € dentro de 6 meses. Clasifica esta operación financiera.

Se trata de una operación financiera:

• De capitalización: Se sustituye un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior.
• A corto plazo: La duración es inferior a un año (6 meses).

Interés Simple y Tasas Equivalentes

Cálculo de Montante en Interés Simple

5. Calcular el interés que producen 5.000 € colocados al 11% anual durante 8 años. ¿Cuál será el montante total de la operación?

I_T = C₀ · i · n
I_T = 5.000 · 0,11 · 8 = 4.400 €

El montante final (C_n) será:
C_n = C₀ + I_T = 5.000 + 4.400 = 9.400 €

Tantos Equivalentes

6. Calcula el tanto equivalente mensual del 15% anual y el tanto equivalente trimestral del 12% anual en capitalización simple.

• Mensual: i₁₂ = i / 12 = 0,15 / 12 = 0,0125 → 1,25% mensual
• Trimestral: i₄ = i / 4 = 0,12 / 4 = 0,03 → 3% trimestral

Comparativa de Capitalización

7. Una persona invierte 10.000 € al 6% anual en capitalización simple durante un año.

• a) Montante tras un año: C_n = 10.000 · (1 + 0,06 · 1) = 10.600 €
• b) Montante tras dos años (reinvirtiendo): C_n = 10.600 · (1 + 0,06 · 1) = 11.236 €
• c) Montante tras tres años: C_n = 11.236 · (1 + 0,06 · 1) = 11.910,16 €
• d) ¿Existe otra forma? Sí, mediante capitalización compuesta:
  C_n = C₀ · (1 + i)ⁿ = 10.000 · (1 + 0,06)³ = 11.910,16 €

Descuento Comercial y Amortización de Préstamos

Descuento Comercial

8. Calcular el descuento comercial y el efectivo de un efecto de 40.000 € que vence en 80 días, con un tipo de descuento del 11% anual.

D_c = C_n · (d/360) · n
D_c = 40.000 · (0,11/360) · 80 = 977,78 €

El efectivo (E) será:
E = N – D = 40.000 – 977,78 = 39.022,22 €

Préstamo con Pago Único

9. Cantidad a devolver dentro de 5 años por un préstamo de 23.000 € al 7% efectivo anual.

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ
C_n = 23.000 (1 + 0,07)⁵ = 32.258,69 €

Amortización de Intereses (Sistema Americano)

10. Términos amortizativos de un préstamo de 180.000 € a 11 años al 11% anual, con pago periódico de intereses y devolución del principal al final.

• Pagos del año 1 al 10 (solo intereses):
  a₁ = a₂ = … = a₁₀ = 180.000 · 0,11 = 19.800 €
• Pago final (año 11):
  a₁₁ = Principal + Intereses = 180.000 + 19.800 = 199.800 €